線性規劃於計畫事前評估與篩選之應用 — 非等距效用測量

ㄧ、前言

如何篩選計畫以達到投資組合最佳化(Portfolio Optimization)，獲得較佳效益是各國政府非常重視的課題。若投入資源在錯誤的計畫上，不僅浪費時間且會影響計畫的成果報酬，因此計畫篩選(Project Selection)可能是整個研發過程中最關鍵的步驟(Harrington, 1979)。

篩選一組計畫以形成組合(Portfolio)的計畫篩選方法，較常見的是單純由專家質化判斷的同儕審查(Peer Review)與搭配專家質化判斷與量化成效資料的計分模型(Scoring Model)，後者所採用的評估準則(Criteria)部分採用量化效益資料，例如：評估一項研究計畫的研究品質時採用質化專家判斷給予評等，評估學術影響時將論文數轉化為五等分級距，而在商業化潛力面向將專利數轉化為五等分級距，經過加總每個計畫(Project)在各個評估準則面向上的得分後可以將備選計畫優先排序。

同儕審查所採取的質化專家判斷被批評過於主觀(Linquiti, 2015)及反映學術層級；而計分模式雖可以採用質量化整合方式，由專家評判與客觀資料(成本等)產生計畫個別分數，但採用個別計畫分數排序所選出的組合，只是個別最佳計畫的加總，不必然計畫組合層次上的最佳化，Linquiti (2012)便指出，計畫(Program)的報酬(效益)並非是個別相加的，因此篩選個別計畫將排名前面的計畫組成一個計畫投資組合，不必然獲得較佳效益，某些計畫(Project)間可能會有互補或互斥的效果，或者決策者可能對於篩選後形成的計畫組合有些核心篩選準則(如：地域分布考量)。

在此介紹運用線性規劃分析將計畫(Project)的評等排序轉化為組合層次(Portfolio-level)評估之方法，在某些假設下(如計畫獨立性)可利用線性模型篩選計畫以達到效益極大化，計畫獨立性是指計畫資源沒有相互交流、技術沒有交互作用等，篩選條件與計畫組合效益具有可加性(Additivity)屬於線性規劃範疇(Hall et al., 1992；Chien, 2002)。若計畫具相依性，計畫資源相依性、技術相互作用、市場交互作用等，則可使用其他的數學規劃如非線性(Non-linear)規劃方式篩選計畫(Martino,1995；Dickinson et al., 2001)。本篇將在計畫獨立性採用線性規劃下探討預算經費與整體計畫組合考量等篩選條件之計畫組合最佳化。雖然Hall等人(1992)所採用的方法並沒有由計畫間互動關係的角度去進行組合分析，但是他將原本計分模型的某些等距排序的缺點改進，將一般排序轉化為效用值，同時加入核心篩選準則，使其得以進行組合層次之評估。

本篇以Hall等人(1992)發表降低抽菸人口盛行率排序效用實例闡述(1)極大化計畫組合效益：將非貨幣效益利用排序函數轉成數值，並加入效用(Utility)概念轉換成效益值可以應用於數學運算；(2)核心篩選準則(Criterion)：計畫考量(地區分布、抽菸盛行率)利用德爾菲法(Delphi)使專家達成共識且資訊可操作性地轉換成數學運算的限制式，加上經費限制、計畫補助限制及其他考量等，以便進行線性規劃分析找出最佳計畫組合。

二、線性規劃簡介

依照政策/計畫目標而補助計畫所產生的效益當然是希望愈大愈好，因而採用線性規劃極大化計畫組合所產生的效益，有可能是技術進展成熟度、產品商業化程度、計畫經濟效益(淨現值，Net Present Value)或社會效益等一種計畫最關心的效益，且需要將上述效益轉化成線性運算式並進行極大化。線性規劃除了極大化的式子外，還有條件限制式通常是計畫的需求或篩選準則，例如，總預算的金額或總資源為R，同一計畫類型有k支而組合中至少要有1支此類型計畫，以及計畫補助通常是通過或沒有通過補助，部分補助(一半或三分之一等)較少見。若有n個計畫要找出最佳化的組合一般會寫成如下：

其中X _i 是第i個的計畫提案，f(.)是效益函數模式，r(.)為計畫所需金額/資源，X _i =1是有補助，無補助為0。

計畫效益在此如何透過質量化的評量，轉換成可以利用線性規劃來篩選計畫，也就是利用某些資料與數學模式解題，是此方法可行與否的重點。傳統的計分模型所產生的排序是等距概念，而Hall等人(1992)則認為，排名前段計畫的效益實際上高於排名後段的計畫的預期效益，例如，在相同條件下，由第二名替代第一名的損失會大於第十名替代第九名的損失。此外，他將不同排名區間的計畫組合相等同，以測量每個計畫(Project)的效用(Utility)，以便運用線性規劃方法將計畫組合進行效用極大化，同時將區域分配因素納入最佳化之計算中。

三、Hall的排序效用極大化方法

接下來將探討Hall等人(1992)所發表的不相等同效用排序實例，美國抽菸防治介入研究(American Stop Smoking Intervention Study, ASSIST)利用線性規劃進行計畫組合的篩選。美國肺癌從1940年代到90年代增加比率為400%，到1992年為止美國成人抽菸人口有27%且超過五千萬人，當年預估將有四十萬抽菸者過早死亡且87%死於肺癌。為了因應抽菸造成人力與經濟損失，美國國家癌症機構從1982年起進行一系列的研究與實驗設計，就是為了找出有效機制以減少抽菸盛行率，ASSIST的目標是到2000年時，16歲以上抽菸人口的盛行率從30%降到15%，也就是盛行率下降一半(Hall et al., 1992)。ASSIST約有一億一千四百萬美元聯邦經費，在七年期間分配到美國15到20個州，藉由各式各樣政策改革組合、大眾傳播媒體資訊與戒菸計畫，達到癮君子能夠戒菸及青少年遠離香菸之目的。

ASSIST的預算規模與大量申請案產生複雜的決策問題，可能資助方式(不同投資組合方式)的數量遠遠超過單獨考量的數量；需要建立次要準則並允許其影響資金補助決策(Hall et al., 1992)。補助提案所形成投資組合的地區分布(東部、西部、南部、北部)涉及政治議題與操作技術上複雜性，有些決策者在計畫篩選過程中感到政治壓力。篩選計畫提案時主要考慮操作優點、成本和次要準則等要素，即便是經驗豐富的決策者權衡這些要素也是相當不易的(Hall et al., 1992)。有鑒於上述平衡計畫投資組合決策、政治與篩選上的問題，需要建立一個有架構、可以量化處理的數學模型方法參與正式決策過程，有資料數據輔助決策較能全面地整體性考量，有助於取得共識避免政治壓力以達到ASSIST計畫補助的初衷：降低抽菸人口的盛行率進而降低肺癌死亡人數。

可操作執行計畫才可能降低抽菸盛行率，若執行面無法運作或實施有難度，都可能導致計畫沒有效益而無法減少抽菸人口數，因此可操作執行計畫是ASSIST計畫補助最關心的課題。利用線性規劃找出最佳解的過程中較彈性，不同的篩選條件/計畫需求找出的最佳解會不同，因此建模過程中客觀呈現模式相當重要，尤其是政治上的地區分布議題。在此將問題解析成兩個部分：核心篩選準則(地區分布、抽菸盛行率)與極大化計畫組合效用(可操作執行計畫)。

(ㄧ)普通排序轉化為效用值

每個計畫提案經過同儕審查，操作執行可行性是主要考量能否獲得補助，在數學模型應用上將計畫的操作技術分數排序，最佳為n排序到最差為1，設計一個單調排序測量函數V(.)，具有1)遞增的嚴格凸性(Convexity)，對高排名提案資助的偏好。2)常數權衡率(Constant tradeoff rate)，衡量相對價值效用(不相等同效用)。以圖1說明，排名18與15提案分數相差等於排名15與11提案之差值皆是0.9 (如果是線性等效用應該是排名18與15分數相差等於排名15與12)，排名愈佳效用愈高且為指數成長，此一不相等同效用關係是由專家判斷且利用函數V(.)轉化找出相對效用的參數；不同範圍專家判斷不相等同效用會有些差異，最後取平均值做為固定的不相等同效用。3)加法與減法不變性，效用比值一群提案比上另一群是不變的。

此一排序效用函數為：

其中y為提案的排名, c需要被估計且與效用有關的非負參數，V(1)=1 (Hall et al., 1992)。

V(.)效用函數具有凸性和常數權衡率這兩個屬性，被設計用來產生相對價值效用的可加性，並且捕捉對高排名提案資助的偏好。提案的排序函數分數是最主要做為補助與否的決策依據，也就是排序函數分數愈高代表排名愈好，操作執行上更容易且突顯計畫的主要考量，若入選k個提案則極大化式子可以寫成 Maximize 。採用8個提案且依實際狀況有預算、地區、偏好等篩選限制(Hall et al., 1992；Chien, 2002)，實際運算出哪些提案需要補助哪些不需要，事實上利用Excel線性規劃可以試算出此一例子的最佳組合。

(二)線性規劃：極大化計畫組合效益

在Hall等人(1992)的例題中將原本的23個提案縮為8個提案，根據計畫屬性(表1)及地域分布與四分位數的需求，其線性規劃的公式如下(Hall et al., 1992；Chien, 2002)：

極大化(Maximize)

1.9X ₁ +1.8X ₂ +1.6X ₃ +1.5X ₄ +1.3X ₅ +1.2X ₆ +1.1X ₇ +1.0X ₈ (技術分數)

條件下/受限於(Subject to)

6.3X ₁ +4.5X ₂ +8.0X ₃ +5.2X ₄ +4.7X ₅ +7.0X ₆ +9.1X ₇ +7.7X ₈ ≥17.0 (偏好需求)

9.8X ₁ +7.4X ₂ +4.9X ₃ +3.9X ₄ +8.1X ₅ +6.1X ₆ +7.3X ₇ +5.6X ₈ ≤37.0 (預算限制)

X ₁ +X ₃ ≥1 (至少一個提案來自地區1)

X ₄ +X ₈ ≥1 (至少一個提案來自地區2)

X ₂ +X ₇ ≥1 (至少一個提案來自地區3)

X ₅ +X ₆ ≥1 (至少一個提案來自地區4)

X ₂ +X ₃ ≥1 (至少一個提案是抽菸分布的第1四分位數)

X ₄ +X ₈ ≥1 (至少一個提案是抽菸分布的第2四分位數)

X ₁ +X ₅ +X ₆ ≥1 (至少一個提案是抽菸分布的第3四分位數)

X ₇ ≥1 (至少一個提案是抽菸分布的第4四分位數)

X ₁ +X ₆ ≥1 (至少一個提案是抽菸遞減分布的第1四分位數)

X ₅ ≥1 (至少一個提案是抽菸遞減分布的第2四分位數)

X ₂ +X ₈ ≥1 (至少一個提案是抽菸遞減分布的第3四分位數)

X ₃ +X ₄ +X ₇ ≥1 (至少一個提案是抽菸遞減分布的第4四分位數)

X ₁ ,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6,X_7,X_8=1(補助) 或0(無補助)

資料來源：Hall et al., 1992 & Chien, 2002，自行整理。

由上面的公式可知在偏好需求函數與極大化技術分數之間存在著權衡(Tradeoff)，因為這兩個屬性都是使得其線性組合愈大愈好，有可能會有拉鋸，讓技術分數極大化的組合，可能偏好需求函數的值適中並非極大。在求解極大值的模式納入固定預算和其他的限制式，即考量組合層次篩選準則，再者，利用軟體就可將這麼多的篩選準則在極短時間將最佳的組合找出來，可做為決策者的決策依據。

(三)核心篩選準則

計畫問題與需求為決定篩選的準則，要採用線性規劃需要轉成數學運算式，地區分布是非常需要有共識的篩選限制，如何將此轉成可操作化與可測量並且能反應共識，此研究(Hall et al., 1992)採用德爾菲法(Delphi)進行問卷調查請專家評判重要標準，利用李克特(Likert)量表將專家意見轉成量化數據。盛行率的篩選是要採用抽菸盛行率最高的州，還是篩選能反應人口資料與歷史因素分佈的州，Hall等人(1992)利用偏好函數衡量盛行率，將不同州抽菸人口與沒有抽菸人口資料帶入截距項為零的迴歸式，利用最小平方法估計出偏好函數的係數，做為計畫組合的篩選準則之一。偏好函數也用來確保排序函數分數跟其他考量重要的準則之間的平衡，避免將排序效用分數和其他篩選準則相結合，因為排序效用分數在補助決策上有較高的優先性，將極大化排序效用函數。

四、小結

線性規劃分析能系統性進行組合層次之評估，幫助決策者更周詳的考量，即可以將關鍵的篩選準則列入模式中一併考量(若有遺漏也容易檢查出在放入模式)，進而找出符合需求準則且效益極大化的組合。利用線性規劃找出最佳計畫投資組合，此方法需要明確了解計畫組合想達到的最主要效益，並且需轉化成量化數據資料(如將非貨幣效益利用排序函數轉成數值，並加入效用概念轉換成效益值)，以及篩選準則需求/限制的量化數據，可利用專家判斷、問卷調查或統計估計方法取得量化數據，有了極大化算式(1)與條件限制式(即組合層次篩選準則)之後，便可以利用Excel等軟體進行線性規劃分析找出最佳解，提供決策者一個更全面、有數據基礎、更有系統且更快速的方法，輔助挑選計畫組合。