發佈日期:2019-12-19

層級分析法於投資組合評估之應用

作者: 國研院科政中心劉玳縈

科研投入 層級分析法 投資組合 成對比較 優先排序 Analytic Hierarchy Process(AHP) Portfolio Pairwise Comparison Priority

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一、層級分析法(AHP)的理論介紹與特性

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層級分析法(Analytic Hierarchy Process,, AHP)的應用相當廣泛,如政策與資源配置、人力篩選、成本利潤分析模型的選擇及績效評估等等,在本篇文章著重介紹AHP在科技計畫篩選上的應用,以及如何應用在計畫組合(portfolio)篩選上。AHP是Saaty學者為解決不確定性(如技術、風險等)且計畫具有多個準則時所發展出來的,是一種透過成對比較(pairwise comparison)進行測量和仰賴專家判斷而計算出優先排序(priority)等級用於支持決策(Saaty,2008)。

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AHP方法的特性是將複雜的問題利用結構化方式分層,在不同面向與層級分解問題進行量化判定給予最終評估的整體分數,即整體問題複雜性太高不容易評估,而將其分成不同層次的部分從較小部分進行評估。結構化可以更明確檢視決策的關鍵準則/面向並且對這些關鍵準則的重要性排序(成對比較矩陣),在兩兩比較的過程中更有助於了解目標,以及準則能否扣合目標或解決問題。

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(一) AHP方法的基本結構 — 不同決策層次

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AHP需要建構決策層次結構,第一層(最上層)決策目標(goal),接著分拆成不同準則或限縮到具體觀點(中介層級/準則),最下層通常是一組替代選項或可行計畫。圖1為標準(standard)的層級結構第一層為目標、第二層是準則、第三層是次準則與最後是替代選項,概念上首先將目標確立之後,可以由上而下解構問題或由下而上(從替代選項到準則)了解欲解決的問題 (de FSM Russo & Camanho,2015)。

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圖1 標準的層級結構

資料來源:de FSM Russo & Camanho (2015); 本研究自行繪製。
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以計畫篩選為例,在經費資源有限下進行計畫篩選,AHP基本架構的目標為計畫篩選,準則由決策者視計畫目標、領域與性質等等(服務推廣、進入市場為導向)不同而制定,次準則是依照準則再區分的項目視需要而定有可能沒有次準則或是還有下層次次準則,例如,以我國政府補助的產業科技發展計畫篩選補助計畫為目標,將科學與技術優點、潛在利潤與風險與計畫執行能力列為考量面向(準則),而科學與技術優點有競爭性技術與相關技術兩項次準則,其中競爭性技術又分為先進技術、關鍵技術與專有技術為評分項目(次次準則)。此外,需要刪除不切實際與不符合目標與準則的替代選項,納入真正與目標和準則相關的替代選項。

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(二)建立成對比較矩陣(pairwise comparison matrix)

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利用矩陣來建立準則與準則之間的相對權重,透過比例來進行比較,以顯示相對於比較它們的標準或屬性,一個元素(a)相對於另一個元素(b)的重要性或優勢度是多少倍(Saaty,2008),若值為k,則b相對a的重要性或優勢度則為1/k,即反置值(inverted value,1/值)。採用量表測量量化與質化準則,比例範圍從相等(數字1)到絕對更重要(數字9)見圖,在每一矩陣中比較的次數為n(n-1)/2,因準則1相較準則2重要數值比例若已知為3,則準則2相對準則1的重要性利用反置值即倒數可獲得(=1/3)。這些過多的成對比較可能有助於更精準的了解有關目標或欲解決問題,以及建構相對相關性的層級結構(de FSM Russo & Camanho,2015)。

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Brown(2007)提出有很多的組織認為他們需要定義決策所需的所有價值,而AHP方法需要這些結構被決策者給予權重,採用兩兩比較給予每一價值產生優先排序的權重,這將使得課責(Accountability)被驅動,因為決策者需要界定哪些價值更重要而不是每樣都重要。

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(三)利用矩陣特徵向量與特徵值計算出各層元素間相對權重

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1.建構成對比較矩陣A

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其中 a ij 為準則i相對準則j的相對權重,a ij = w i ⁄w j

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w i 為準則 i 的權重,n 為比較對象的數目,如準則數目或計畫數目等。

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由於 a ij = w i ⁄w j & a ji = w j ⁄w i ,可推得 a ij = w i ⁄w j = 1/( w j ⁄w i ) = 1/a ij ,而準則權重之向量= (w 1 , w 2 , …, w n ) t

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推得

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2. A矩陣的最大特徵值之求法,用以獲得各準則的權重

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由於成對比較矩陣的值是由決策者主觀判斷所給的相對權重,因此上述 未必成立,在此 Saaty (2003)建議以 A 矩陣的最大特徵向量 λ max 代替 n。因此利用 ,所得的最大特徵向量就是各準則的權重。

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Saaty 並且提出以行向量平均值的標準化可以求得較準確的權重,可以推得各準則的權重為

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(四)檢定成對比較矩陣的一致性

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利用一致性指標 (consistency index, C.I.) 與一致性比例 (consistency ratio, C. R.) 來檢定成對比較矩陣的一致性。

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一致性指標 (Saaty,1977),

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其中 λ 的估算為

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CI=0 表示前後判斷是完全一致的,Saaty建議 CI<0.1 的一致性是可接受的偏誤。

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一致性比例

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其中 CI 為一致性指標、RI 為 Saaty (1980)提出的隨機指標(random index,RI),CR 表示此兩個指標的比值。不同的 A 矩陣階數 (n) 有其相對應的 RI (表1),n 愈大 RI 也愈大。CR 的值<0.1,則表示成對比較矩陣的一致性程度是高的,可以接受的。

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表1隨機指標

資料來源:Saaty (1980); 本研究繪製。
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(五)計算替代選項之優先權重

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計算每一個準則/因素在所有替代選項的成對比較矩陣、標準化矩陣及一致性CR;接下來進行整體層級權重之計算,依據替代選項之整體優先權重,決策者決定最後採用的替代方案。

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二、層級分析法實例解析:評估生技醫藥計畫進展

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運用邏輯模式將生技醫藥計畫的關鍵構面/準則設定出來,再經過專家會議判斷構面/準則為創新能量提升、知識創造、知識散布、產業化、產業擴散與產業政策發展等六個準則。

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(一)基本架構建立

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如圖2之概觀生技醫藥計畫進展利用邏輯模式進行計畫之解構而設定六個準則,依照上一節的步驟建立成對比較矩陣、計算權重的優先排序、一致性檢定,最後算出五個計畫的整體權重與總分,以供決策者了解計畫彼此相對的進展。由於決策者的最主要目標是評估技術和產品商業化/產業化或進入市場,因此會加強產業化的權重。

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圖2概觀評估生技醫藥計畫之進展

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(二)建立成對比較矩陣

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由建構基本架構過程了解技術或產品能夠商業化/產業化是最主要的目標,經由專家判斷使用Saaty的量表(1~9)建立成對比較矩陣A,若成對比較矩陣如下圖,再將矩陣標準化後與計算每一準則優先排序的權重(圖3)。如何計算請見步驟3。產業化與產業擴散的權重較其他準則來得重。

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圖3六個準則的成對矩陣與每個準則的權重

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(三)計算每一準則的權重w與最大特徵向量

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1.將成對比較矩陣A標準化,如下表2每一行加總為1。

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表2六個準則的標準化矩陣

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2. Saaty提出以行向量平均值的標準化可以求得較準確的權重值,所以計算六個準則優先排序的權重為準則,利用標準化分數相加除以所有準則的總分,權重如下:

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3. 決定

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(四) 計算一致性指標(CI)與一致性比例(CR)

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,也就是一致性指標與隨機指標 (n=6) 的比值。

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計算每一個準則/因素在此五個計畫選項的成對比較矩陣、標準化矩陣及一致性CR;表3分別呈現準則1的成對比較矩陣、標準化矩陣與CR,最後一欄PW為五個計畫在準則1的優先權重。以此類推算出所有準則的優先權重。

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表3五個計畫在準則1的成對比較矩陣、標準化矩陣與優先權重

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(六) 算出五個計畫的整體權重與總分

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表4的第一列為每一個準則的優先權重,準則1其權重=0.0716、準則2其權重=0.0529、準則3其權重=0.1011、準則4其權重=0.3891、準則5其權重=0.2151與準則6其權重=0.1702,也就是步驟1所計算出來的結果。第二列表示計畫1在六個準則的優先權重,以此類推,最後一欄為每一計畫最後的總分,可以看出計畫四是技術進展總分最高的計畫,依序為計畫四、計畫三、計畫一、計畫五,最後是計畫二。並且還可以了解每一計畫在哪些準則上相較其他計畫為落後。

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表4每一準則與每一計畫之優先排序權重與整體分數

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此篇文章提出一個完整可操作的架構方便實際應用,完整的列出依照步驟如何計算計畫最後的整體分數,但準則的一致性指標CI=0.0262 <0.1,Saaty認為容許的偏誤<0.1,因此矩陣的一致性是符合的。如果存在一致性問題,依照學者的建議(de FSM Russo & Camanho,2015),決策者需要再次審視成對比較矩陣中準則之間的相對權重。

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想採用此AHP方法進行計畫篩選者,只要判斷準則之間確切相對數值與計畫之間的確切相對數值,就可應用上述步驟與做法並且符合一致性,就可實際計算出計畫的優先排序以利輔助計畫篩選與決策。

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三、AHP方法搭配數學規劃之計畫篩選方法實例

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層級分析法簡易、容易使用與具高度彈性(flexibility)被廣泛的使用,搭配其他方法可以減少其使用限制(無法考量資源有限),如搭配數學規劃可以考慮資源或人力有限的限制,因此Ho(2008)研究指出整合AHP與其他方法一起使用比起單獨使用AHP方法更好。在此探討搭配數學規劃方法之實例。

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AHP方法被廣泛地應用在數學規劃的最佳化與運用性質的研究上,將此方法所計算出的權重做為線性(linear)、整數(integer)或混合線性整數(mixed linear integer)規劃中目標函數(objective function)的係數(coefficient),如進行資源分配(allocation)的最佳化運算;或將權重應用在目標規劃(goal programming)中進行多重目標(objective)的排序(Ghazinoory et al.,2007)。

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在此利用Malladi & Min (2005)所提出農村社區中挑選最佳高速網際存取技術的實例,說明如何使用AHP方法搭配混合線性整數規劃挑選出適合農村社區需求的技術選項。在此實例中先考慮多個同質社區(homogeneous community)的情況,同質社區指具有存取技術相關相同成本的社區並且有相似的人口統計資料、地理位置和其他特徵等。

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(一)農村社區的網際網路速度、成本與品質等準則之考量

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網際網路存取技術的選擇對於農村社區的經濟發展與生活品質非常重要,若要能更有效率的應用(如遠距教學、醫療、電子公務)需要依賴高速度的網際網路,加上農業社區通常預算有限且無法進行實驗,因此成本與品質也是考慮的因素。此實例的架構,目標(第一層)為挑選最佳的高速網際存取技術,準則為有成本、品質與速度,接下來還包括次準則,最後一層為三種網際存取技術選項,數位用戶迴路(digital subscriber line,DSL)、纜線數據機(cable-modem)與無線網路(wireless)三種。

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(二)預算限制(多個同質農村社區)

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由於預算限制,若每一社區單獨採購可能無法獲得其首選的存取技術,而基於規模經濟同一種技術若有愈多社區採用則可降低單位成本或獲得更好的服務和設備等,因此將同質社區經費匯集起來,再進行最佳網際網路的篩選。

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(三)數學規劃搭配AHP方法

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在預算經費有限下,希望極大化/最佳化社區所採用網際網路存取技術,以提供居民有穩定安全的網路可以使用,改善或提升生活品質。在此實例中,具有清晰不同層級的多目標準則,因此,Malladi & Min (2005)試圖利用AHP方法計算出每個社區不同網際網路技術的權重分數(表5),做為混合線性整數規劃中目標函數的係數即公式(1)的係數。加上一些假設:社區預算可以相加、規模經濟下存取技術在每個社區的固定與變動成本與它的使用數量成反比,以及每個社區的成本是相同的。極大化同質社區所選擇存取技術的權重總和,並且符合核心篩選條件固定成本與變動成本的預算限制,此外,要確保每一社區的匯集預算的選擇沒有比個別社區的選擇差。

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表5在每一社區中AHP方法所獲得三種存取技術的優先權重

資料來源:Malladi & Min (2005);本研究自行整理。
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極大化(Maximize)

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條件下/受限於(Subject to)

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其中 Y ij 代表技術 i 在社區 j 中,若技術 i 在社區 j 中被選中為1,沒有為0,Z ik 若有 k 個社區都選中技術 i 為1,否則為 0, i, j, k =1,2,3。

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在此僅羅列其中一部分的限制式,詳細請見 Malladi & Min (2005) 文獻,下表 6 為存取技術在不同數目(K)社區下每一社區的固定成本。

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表6存取技術在不同數目(K=1, 2, 3)社區,每一社區的固定成本

資料來源:Malladi & Min (2005); 本研究自行整理。
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(四) 匯集同質社區資源較單一社區之篩選結果好

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以單一社區個別選擇存取技術,在此實例中社區1、2、3的固定成本預算分別為90000、100000、90000,由AHP方法所獲得三種存取技術的優先權重可知,社區1和社區3權重最高分為纜線數據機而社區2為DSL,但由上表在只有一個社區使用纜線數據機存取技術(100000)與DSL(120000)分別都比這些社區的固定成本預算高,因此退而求其次,社區1和社區3僅能使用無線網路而社區2採用纜線數據機,都非首選的存取技術。

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然而,在匯集社區資源後利用混合線性整數規劃計算出,社區1和社區3採用纜線數據機由於兩個社區使用因此成本為80000*2=160000而社區2採用DSL總共280000在預算內,都是首選的存取技術;假設預算縮減為200000,三個社區皆採用纜線數據機僅需要60000*3=180000在預算內,雖然社區2的技術非首選,但社區1和社區3還是維持首選且省了不少費用。

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由於本文旨在說明如何整合AHP方法與數學規劃,而擴及到異質社區,其人口統計資料、地理位置皆不同且假設所需成本也不同的,這部分在此省略,有興趣可參見Malladi & Min (2005)。

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四、AHP方法之優勢與限制

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AHP方法需要人工判斷準則權重的確切數值,但這可能無法處理決策者感知的確切數字所反映的相關不確定性和不精確性。然而,在許多實際狀況中,人類偏好模型是具備不確定性,在比較判斷上,決策者可能不願或無法給定確切數值(Chan & Kumar,2007)。雖然這是很多文獻對AHP方法的批評之一,但卻也是其可能的優點,因為可以將難以有量化數值或是質化偏好的準則,透過專家或利害關係人參與給予量化權重,只要權重給予後便可利用數學運算將優先排序算出,並且能使用一致性檢查準則權重是否有偏差,兩兩比較前後判斷是否一致。

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因此,Brown(2007)提出AHP分析方法的強大之處在於如何定義決策的價值結構及可以包含任何質化的測量如技術的競爭性、商品的未來展望等,藉由定義決策所需的所有價值使得AHP方法可以超越投資報酬率(ROI)和其他財務測量方法。利用AHP方法的權重分數可以用來區別計畫,AHP方法結合量化與質化的特性,成為獨特的優勢,如未來展望、社會影響等為財務因素外的屬性難以量化,這些往往是現今快速變化與複雜科技環境的重要因素。

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Brown(2007)提出成對比較矩陣的結果可以讓利害關係人對組織價值有新一層了解,這就是讓利害關係人參與,當使得AHP方法的應用更恰當時,更容易讓利害關係人買單(buy-in);參與而買單是計畫管理歷程中關鍵的一個目標,並不是每項倡議(initiative)都能獲得補助,也就無法滿足所有利害關係人的需求,當考慮組合結構有效性時,關鍵因素之一是方法使得利害關係人間產生支持的程度,畢竟,若利害關係人在執行階段抵抗計畫,就算是篩選對的計畫但能產生的效益也非常有限且容易失敗,這也是為何計畫經理與利害關係人必須共同合作建立較實際可達成的預期結果,當缺乏資源或組織無法執行提出的變更時,可能導致不切實際的預期,以及若產生不同預期時計畫經理與利害關係人必須合作解決或撫平問題,才可能讓計畫產生該有的預期結果。

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AHP方法與標準的計分模型(scoring model)不同之處,在於每一個次準則(sub-criterion)的評分(rating)權重是專家判斷的比例數值,準則之間相比較得出。而Scoring的評分是針對準則本身所賦予的權重,例如計畫在商業化、知識創造與知識散布上的本身權重,再者計分模型並沒有將相似的因素準則放在同一類準則不同層級上(準則、次準則),而是一一列出,並沒有將屬性歸類的特性(Kumar,2004)。Scoring 雖可以了解替代選項的貢獻主要在哪些評分項目上,但並沒有分層並不容易歸類,因此不容易了解替代選項所著重的偏好或主要貢獻的準則,而AHP方法有分層則可歸類替代選項偏重的準則或屬性等,更有助於計畫組合篩選之整體規劃。

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無法考慮資源有限的問題也是使用AHP方法的限制之一,此時可以搭配數學規劃等方法,例如,在農村挑選網際網路技術的案例,利用AHP方法將存取技術的優先權重計算出來,將權重作為目標函數的係數,考量主要篩選準則(如預算、每一社區僅一種技術等等),再採用混合線性整數規劃,找出社區最佳存取技術組合,由此可知搭配數學規劃則解決AHP單獨使用時的限制。可參考上一節AHP方法搭配其他計畫篩選方法實例的應用。

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Kumar(2004)提出AHP方法藉由同儕評分的判斷評估比計分圖表和效用(utility)模型在優先排序設定上更有效率,但本研究認為成對矩陣要符合一致性,並且成對比較的次數為n(n-1)/2,當n較大時不見得有效率;每種方法有其優缺點,應該依據計畫目的、資料、測量準則等等建立可信的多準則分析方法。

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五、結論

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AHP方法的核心是定義準則和計算權重用以評估替代選項,定義計畫目標與準則使其清楚而不含糊是相當重要的。不管使用任何方法,普遍認為沒有妥善具體化目標是計畫失敗最主要的理由之一,因此,在進行計畫篩選時,首要需要明確且具體化計畫目標。AHP方法可以藉由專家和利害關係人參與準則的判斷,給予難以量化的質化準則分數,並且藉由利害關係人參與買單更有利於計畫執行,使得計畫能產生預期結果。層級分析法具有使用簡單、彈性大和健全的數學特性等被廣泛使用,雖有無法考慮資源有限或準則數目多時成對比較需要較多次數等,但可以利用搭配其他方法來解決。因此,在多準則分析中,AHP方法不失為一個彈性有效且可行的分析方法。

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參考文獻

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